Maxwellovy rovnice

5. listopadu 2008 v 15:39 | Martin Smolák |  elektrotechnika

Maxwellovy rovnice



James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell
Maxwellovy rovnice jsou základní zákony v makroskopické teorii elektromagnetického pole, které zformuloval James Clerk Maxwell v roce 1865. Lze je zapsat buď v integrálním nebo diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v určitém bodu této oblasti.
//<![CDATA[ if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "zobrazit"; var tocHideText = "skrýt"; showTocToggle(); } //]]>


Formulace Maxwellových rovnic

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. V jiných soustavách se v zápisu objevují navíc konstanty jako např. rychlost světla c a (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

První Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu, zobecněný Ampérův zákon)

integrální tvar
\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S},I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.
Cirkulace vektoru intenzity magnetického pole H po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna součtu celkového vodivého proudu I a posuvného proudu \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}, spřažený křivkou c, Křivka c a libovolná plocha S, jež křivku obepíná jsou vzájemně orientovány pravotočivě.
diferenciální tvar
\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Rotace vektoru intenzity magnetického pole H je rovna hustotě vodivého proudu j a hustotě posuvného (Maxwellova) proudu \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.


Druhá Maxwellova rovnice (Zákon elektromagnetické indukce, Faradayův indukční zákon)

integrální tvar
\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.
Cirkulace vektoru E po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku spřaženého křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jíž křivka obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.
diferenciální tvar
\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.
Rotace vektoru intenzity elektrického pole E je rovna záporně vzaté derivaci magnetické indukce B.


Třetí Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky)

integrální tvar
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.
Elektrický indukční tok libovolnou vně orientovanou plochou S je roven celkovému volnému náboji v prostorové oblasti V ohraničené plochou S.
diferenciální tvar
\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.
Divergence vektoru elektrické indukce D je rovna objemové hustotě volného náboje ρ. Ekvivalentní formulace: siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je přítomen elektrický náboj.

Čtvrtá Maxwellova rovnice (Zákon spojitosti indukčního toku)

integrální tvar
\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.
Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.
diferenciální tvar
\nabla \cdot \mathbf{B}=0.
Divergence vektoru magnetické indukce \mathbf{B} je rovna nule.
Ekvivalentní formulace: Neexistují magnetické monopóly.[1]

Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka
OznačeníVýznamJednotka SI
\mathbf{E}intenzita elektrického poleV/m
\mathbf{H}intenzita magnetického poleA/m
\mathbf{D}elektrická indukceC/m²
\mathbf{B}magnetická indukceT
\ \rho \hustota volného nábojeC/m³
\mathbf{j}hustota elektrického prouduA/m²

Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že hustota polarizace P (C/m2) a hustota magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:
\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}

a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:
\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ = \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ = \ \ \mu \mathbf{H},

kde:
χe je elektrická susceptibilita materiálu,
χm je magnetická susceptibilita materiálu,
ε je elektrická permitivita materiálu a
μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:
\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho
\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}
V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.
Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.
Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru
\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E},
kde σ je měrná vodivost daného materiálu.


Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů

logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu
logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu
Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu \varphi a \mathbf A, které jsou definovány tak, aby platilo
\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,,
\mathbf{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\,.
\mathbf E a \mathbf B se přitom nezmění, pokud k potenciálu \varphi přičteme libovolnou konstantu, nebo k \mathbf A gradient libovolného skalárního pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. Lorentzovu kalibrační podmínku
\nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon\mu\frac{\part \varphi}{\partial t}=0\,.
Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic
\square \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}\,,
\square \mathbf{A} = -\mu\,\mathbf{j}\,,
Ve speciální teorii relativity tvoří elektrický a magnetický potenciál dohromady čtyřvektor zvaný čtyřpotenciál Aμ. Také d'Alembertův operátor lze zobecnit na čtyřvektory. V tomto formalismu (a s předpokladem Lorentzovy podmínky) lze pak všechny Maxwellovy rovnice napsat jako jedinou nehomogenní vlnovou rovnici
\square A^\mu={j^\mu\over\epsilon_0}\,.
kde jμ je elektrický čtyřproud a ε0 je permitivita vakua. Ve vakuu je navíc čtyřproud nulový, takže rovnice se stane homogenní a její řešení odpovídá šíření elektromagnetických vln.


 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Anketa

Jaký Internetový vyhledávač používáte?

Google 22.8% (134)
Seznam 16.5% (97)
Atlas 16.7% (98)
Centrum 13.1% (77)
Slunečnice 17% (100)
idnes 13.8% (81)

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama