Gaussův zákon elektrostatiky

5. listopadu 2008 v 15:29 | Martin Smolák |  elektrotechnika

Gaussův zákon elektrostatiky



Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.


Formulace zákona

Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:
Tok elektrické intenzity ΦE libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji Q nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua \varepsilon_0.
Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako
\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}
Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah
\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.

Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.
Pokud uvažujeme uzavřenou plochu S libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu V, které obsahuje celkový náboj Q, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah
\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
Pokud se uvnitř plochy S nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz
\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V
Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme
\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V
Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem V, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.
\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.


Gaussův zákon v dielektriku

V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce \mathbf{D} v integrálním tvaru jako
\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q
nebo v diferenciálním tvaru jako
\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho

Počet siločar

Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:
Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj Q, je roven podílu velikosti náboje Q uvnitř této plochy a permitivity vakua \varepsilon_0, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.

Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem
N = Φ,
kde N označuje počet siločar.
V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru
N = \frac{Q}{\varepsilon_0}


Vlastnosti

E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}
Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.
  • Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Anketa

Jaký Internetový vyhledávač používáte?

Google 22.8% (134)
Seznam 16.5% (97)
Atlas 16.7% (98)
Centrum 13.1% (77)
Slunečnice 17% (100)
idnes 13.8% (81)

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama