Elektrický potenciál

5. listopadu 2008 v 15:42 | Martin Smolák |  elektrotechnika

Elektrický potenciál



Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.
//<![CDATA[ if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "zobrazit"; var tocHideText = "skrýt"; showTocToggle(); } //]]>

Značení

Výpočet

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako
\varphi = \frac{U}{Q},
kde U je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.

Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0,
kde \mathbf{r} je polohový vektor bodu prostoru a \varphi_0 je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \varphi_0 = 0.

Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje ρ lze vyjádřit vztahem
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}V,
kde V je celkový objem, přes který se integruje.
Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje ρ nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrckého pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}S,

Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}l,


Poissonova rovnice

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme
\operatorname{div}\mathbf{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor \Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}, lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice
\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}
Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.
Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. ρ = 0, zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova
\Delta\varphi = 0


Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy n bodových nábojů Q1Qn, jejichž polohové vektory jsou \mathbf{r}_1\mathbf{r}_n.
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|} + \varphi_0
Potenciál jednoho z bodových nábojů Qi ze soustavy nábojů Q1Qn vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako
\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}
Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\mathbf{r})
Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. \varphi_0=0, potom lze podle předchozího vztahu psát
\varphi(\mathbf{r}) = -\int_\infty^\mathbf{r} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}
Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. \varphi=\mbox{konst}, se nazývá ekvipotenciální plocha.

Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu \varphi=\mbox{konst}, tzn.
\mathrm{d}\varphi = \frac{\part\varphi}{\part x}\mathrm{d}x + \frac{\part\varphi}{\part y}\mathrm{d}y + \frac{\part\varphi}{\part z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 0,
kde \mathrm{d}\mathbf{r} leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory \mathbf{E} a \mathrm{d}\mathbf{r} jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. \mathbf{E} je kolmé k ekvipotenciální ploše.
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Anketa

Jaký Internetový vyhledávač používáte?

Google 22.8% (134)
Seznam 16.5% (97)
Atlas 16.7% (98)
Centrum 13.1% (77)
Slunečnice 17% (100)
idnes 13.8% (81)

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama